Wyłączanie czynnika przed pierwiastek Wyłączanie czynnika przed pierwiastek oparte jest w głównej mierze na rozkładzie liczby podpierwiastkowej na iloczyn takich liczb, aby jedna z nich pozwalała się spierwiastkować. Przykład: Weźmy liczbę , sprawdźmy, jaki rozkład na iloczyn pozwoli nam wyciągnąć jedną z liczb działania spod pierwiastka 2 ・ 9 = 18, zapisujemy więc Matematyka. Wyprowadzenie wzoru na deltę i x1 x2 - opis. Kaulkulator funkcji kwadratowej. równania mnożenia: . . Przenosimy wyraz \ (c\) na drugą stronę, oraz całe równanie dzielimy przez \ (a\). , aby doprowadzić do postaci wzoru skróconego mnożenia. Teraz lewa strona równania. II sposób wyłączania czynnika przed znak pierwiastka. 18−−√ = 9 ⋅ 2− −−√ = 3 2–√. Drugi sposób polega na rozłożeniu liczby, w tym wypadku 18 na taki iloczyn, aby jedna z liczb się pierwiastkowała. Tą liczbą w naszym przypadku jest oczywiście „9”. „9” się pierwiastkuje i otrzymujemy z niej wyłączoną Przykładem ilustrującym zamianę potęgi na pierwiastek jest: 2^4 = 16. √16 = 2^2 = 4. Oznacza to, że pierwiastek kwadratowy z 16 jest równy 2 podniesionemu do kwadratu, czyli 4. Przykładem ilustrującym zamianę pierwiastka na potęgę jest: √81 = 9. 9^2 = 81. Oznacza to, że kwadrat z liczby 9 jest równy 81. Uwaga! Najważniejszą kwestią w czasie wykonywania działań na pierwiastkach jest to, że pierwiastki można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia, czyli pierwiastki drugiego stopnia oblicza się osobno oraz pierwiastki trzeciego stopnia osobno. Oto przykłady: 1 . Dodawanie pierwiastków: + 2 = 3 Oczywiście ta umiejętność jest niezbędna na poziomie maturalnym. Najważniejsze z przedstawionych wcześniej wzorów, to trzy pierwsze wzory na potęgi: Zakładają one, że w podanych potęgach mamy taką samą podstawę i do tego będziemy dążyć w wyrażeniach, gdzie w ich pierwotnej formie, nie jest możliwe zastosowanie żadnego wzoru. 1 SPIS TREŚCI 1. Potęgi i pierwiastki 3 W tym: 1.1 Sposób na Maturę z Matmy (Matura Podstawowa) Stworzony przez Antek PanMatma. Aktualizacja 12 maja 2023. Stan obecny. Niezapisano. Cena. Potęgowanie. Pierwiastkowanie. Zaokrąglanie. Przykład. Klasa Math służy w Javie do wykonywania zarówno podstawowych jak i nieco bardziej skomplikowanych operacji matematycznych. Znajdziemy w niej metodę do potęgowania i pierwiastkowania liczb, obliczania funkcji trygonometrycznych, a także stałe PI oraz E. Zacznijmy od tego czym jest mnożenie wspomnianych pierwiastków: Mnożenie pierwiastków jest to dosłownie mnożenie pierwiastków, czyli na mnożysz nie liczby całkowite, tylko mnożyć same pierwiastki (mogą występować z liczbą przed nimi). Ogólnie to mnożymy liczbę przed pierwiastkiem z liczbą przed drugim pierwiastkiem (o ile je xs8e. Transkrypcja filmu videoW tej prezentacji chcę pokazać jak przekształca się okresowe ułamki dziesiętne w ułamki zwykłe. Wybierzmy jakiś przykład. Powiedzmy, że mamy 0,7 „w okresie”. { w Polsce używa się zapisu 0,(7) } Ta kreska oznacza, że siódemki ciągną się w nieskończoność. To się równa 0,7777… i tak dalej. Siódemki ciągną się bez końca. Aby przekształcić okresowy ułamek dziesiętny w ułamek zwykły wykorzystamy zmienną. Pokażę to krok po kroku. Niech będzie to zmienna x. Zatem x = 0,7777… Ile to będzie 10x? Zapiszmy: 10x = 10 * 0,7777… Nie muszę tego liczyć. Mnożenie przez 10 sprowadza się do przesunięcia przecinka w prawo. Mamy zatem 7,777… Albo 7,7(7). W tym cała metoda. (Dopiszę znak równości.) x = 0,777… 10x to kolejna liczba bez końca. Możemy jednak pozbyć się tego ogona, jeśli odejmiemy x od 10x. Bo x to ciąg siódemek po przecinku a w 10x też mamy ciąg siódemek po przecinku. Jeśli to zrobimy, zostanie nam 7. Przepiszę od nowa. 10x = 7,7(7) czyli 7 przecinek 7 w okresie. Wcześniej przyjęliśmy natomiast, że: x = 0,7(7) czyli 0 przecinek 7 w okresie. Co zostanie, jeśli odejmiemy x od 10x? Odejmijmy żółtą liczbę od zielonej. 10 sztuk czegoś minus 1 sztuka to 9 sztuk tego czegoś. To będzie równe… Ile to jest: 7,7777… – 0,7777… To będzie 7! Ogony się skracają i zostaje nam samo 7. Tak samo tutaj: 7 w okresie znika i zostaje 7. Uzyskujemy równanie: 9x = 7 Aby obliczyć x, dzielimy obie strony przez 9. Równanie ma trzy strony, ale dwie ostatnie to to samo. Otrzymujemy wynik: x = 7/9 Zróbmy inny przykład. Zostawię ten jako ściągawkę. Niech będzie… 1,2(2) To jest to samo, co 1,2222… Ta kreska oznacza, że cyfry pod nią powtarzają się w nieskończoność. Tak jak wcześniej, przypiszmy temu x. Teraz pomnóżmy x przez 10. 10x = 12,2(2) Czyli 12,222… Teraz odejmijmy x od 10x. To łatwe, ale zapiszę, żeby nie było wątpliwości. x = 1,2(2) Jeśli odejmiemy x od 10x, co nam zostanie? Po lewej stronie równania mamy 10x – x = 9x A tutaj? Ciągi dwójek się skracają. 2 w okresie minus 2 w okresie równa się 0. Zostaje nam więc 12 – 1 = 11 Mamy równanie: 9x = 11 Dzielimy obie strony przez 9 i otrzymujemy: x = 11/9 Funkcje matematyczne - Klasa Math Programując w Javie, często będziesz wykonywać różne operacje arytmetyczne i przydatne będą Ci gotowe funkcje matematyczne, takie jak pierwiastek kwadratowy, potęgowanie, wartość bezwzględna, sinus i inne funkcje trygonometryczne. Większość najważniejszych funkcji matematycznych znajduje się w klasie Math z pakietu Kilka najważniejszych funkcji znajduje się poniżej. sqrt(double liczba) - zwraca pierwiastek z liczby double. Jako parametr możemy również podać dowolny typ liczbowy, wtedy nastąpi jego automatyczna konwersja na double. pow(double a, double b) - zwraca liczbę a podniesioną do potęgi b abs(liczba) - parametrem może być dowolna liczba, metoda zwraca wartość bezwzględną z argumentu więcej funkcji znajdziecie w API Javy tutaj Wszystkie metody są statyczne, a to oznacza, że w celu ich wywołania nie musisz tworzyć obiektu, wystarczy, że metody te wywołasz poprzez klasę Math. Schematycznie: Zobaczmy to na praktycznym przykładzie programu, który obliczy pierwiastek z liczby, a także obliczy jej 3 potęgę. class MathFunctions { public static void main(String[] args) { double first = int second = 3; double sqrt = //pierwiastek kwadratowy double power = second); //9 do potęgi 3 z " + first + " wynosi: " + sqrt); " + first + " podniesiona do potegi " + second + " to " + power); } } Po uruchomieniu programu zobaczymy taki wynik: Dzięki metodom z klasy Math wiele operacji staje się prosta. Zamiast zapisywać 9 * 9 * 9, możemy po prostu skorzystać z metody Ciekawym zagadnieniem o którym warto tutaj wspomnieć jest import statyczny. Dzięki jego zastosowaniu będziemy mogli pomijać przedrostki Math przed nazwami funkcji. Poniżej powyższy przykład z jego zastosowaniem. import static class MathFunctions { public static void main(String[] args) { double first = int second = 3; double sqrt = sqrt(first); //pierwiastek kwadratowy double power = pow(first, second); //9 do potęgi 3 z " + first + " wynosi: " + sqrt); " + first + " podniesiona do potegi " + second + " to " + power); } } Jest to bardzo przydatna rzecz w przypadku, gdy w swoim programie bardzo często wywołujesz różnych funkcji matematycznych. W klasie Math występują także dwie stałe, które reprezentują liczby PI oraz E. Dzięki nim nie musisz pamiętać, że liczba PI to Odwołujemy się do nich podobnie jak do metod. Wielkie liczby Może się zdarzyć, że nawet zakres typów long, czy double nie wystarczy do naszych obliczeń. Co wtedy zrobić? W Javie istnieją dwie klasy do przechowywania naprawdę ogromnych liczb oferujące dodatkowe funkcje matematyczne i nadające się także do precyzyjnych obliczeń matematycznych, na przykład w bankowości. BigInteger - klasa dla wielkich liczb całkowitych BigDecimal - klasa dla wielkich liczb zmiennoprzecinkowych Ich używanie w tradycyjnych programach nie jest zbyt wygodne, ponieważ nie można zrobić bezpośredniego przypisania wartości BigInteger przykładowo do wartości int (ani odwrotnie), pomimo że BigInteger przechowywałaby liczbę z zakresu int. Jest to spowodowane tym, że klasa BigInteger jest typem obiektowym, a do zmiennych typu int nie można przypisywać obiektów. Nie istnieje też żadna automatyczna konwersja między takimi wartościami. W klasach BigInteger i BigDecimal znajdują się przydatne stałe reprezentujące 0 i 1: / / Jeżeli natomiast chcesz utworzyć obiekt reprezentujący inne liczby, należy w takiej sytuacji skorzystać z metod lub lub odpowiednich konstruktorów. W nagłówku trzeba oczywiście też zaimportować używaną klasę, ponieważ znajduje się ona w pakiecie import class BigNumbers { public static void main(String[] args) { BigInteger bigNumber = new BigInteger("123"); } } Najpierw tworzymy obiekt BigInteger i przypisujemy go do zmiennej. Zauważ, że argument podajemy w formie Stringa. Konstruktor przyjmuje String, a nie int lub long, ponieważ z założenia liczba, którą tam podajemy może znacznie wykraczać poza zakres tych typów. Drugi sposób na utworzenie obiektu to: BigInteger wielkaLiczba = W tym przypadku trzeba jednak pamiętać, żeby argument metody valueOf() nie przekroczył zakresu typu long, lub double w przypadku klasy BigDecimal. Przy sposobie ze Stringiem mogą one być praktycznie nieograniczone. Aby dodać dwie ogromne liczby nie możemy korzystać ze standardowych operatorów typu +, czy *, należy w takim wypadku skorzystać z gotowych funkcji: add(), subtract(), multiply(), divide(). import class BigNumbers { public static void main(String[] args) { BigInteger first = new BigInteger("123123123123123123123123123123"); BigInteger second = new BigInteger("987654321987654321987654321987"); BigInteger sum = " + } } Obiekty BigInteger i BigDecimal są niemodyfikowalne, podobnie jak obiekty typu String. Z tego powodu wywołanie np. metody add() nie modyfikuje wartości obiektu przypisanego do zmiennej first, zamiast tego zwracany jest nowy obiekt, będący sumą dodawanych wartości. Dzięki temu, że klasy BigInteger i BigDecimal posiadają nadpisane metody toString(), to można łatwo wyświetlić reprezentowane przez nie wartości. Typ BigDecimal jest przydatny we wszystkich miejscach, gdzie ma dla nas znaczenie precyzja obliczeń - np. w banku. Spójrz na przykład, gdzie wykonujemy operacje na wartościach typu double: class NormalNumbers { public static void main(String[] args) { double a = double b = 4; double c = / b * c); } } W wyniku otrzymasz dziwny wynik, co wynika z tego, że liczby typu double reprezentują tylko bardzo dokładne przybliżenie liczby. Jeśli używalibyśmy typu double do przechowywania informacji o pieniądzach w banku, to przy miliardach transakcji te niedokładności w końcu wpływałyby na to, że z niektórych kont uciekałyby pieniądze (raczej niewielkie, ale jednak). Korzystając z typu BigDecimal problem ten nie występuje, ponieważ wykorzystywana jest inna reprezentacja liczb niż w przypadku double. import class BigNumbers { public static void main(String[] args) { BigDecimal a = new BigDecimal(" BigDecimal b = new BigDecimal("4"); BigDecimal c = new BigDecimal(" } } Obiekty BigDecimal zajmują jednak dużo więcej miejsca w pamięci niż wartości typu double, więc jeśli zależy Ci na szybkości obliczeń, to często lepiej jest poświęcić precyzję właśnie kosztem wyższej wydajności. Wzór na potęgę pierwiastka o tym samym wykładniku ma postać: \((\sqrt[n]{a})^n = a\), gdzie \(a \geq 0, b \geq 0, \: i \: n \in N \setminus \left \{ 0, 1 \right \}\) Oznacza to, że \(a \: i \: b\) są to liczby większę bądź równe \(0\), \(n\) jest liczbą naturalną z wyłączeniem liczb \(0\) i \(1\) Pierwiastkowanie Wzór na mnożenie pierwiastków Wzór na dzielenie pierwiastków Wzór na pierwiastek pierwiastka Wzór na potęgę pierwiastka Wzór na włączanie liczby pod pierwiastek Wzór na pierwiastek z liczby \(a^n\) Wzór na sumę pierwiastków Wzór na wartość bezwzględną pierwiastków